摘 要
蛋白質摺疊與病毒演化和許多重要的學術及實用問題有關。本文簡單介紹這方面研究的近況以及筆者與合作者所做的一些工作。介紹的研究工作包括以全原子模型研究蛋白質、以Go模型研究蛋白質，以及病毒演化模型。
一、前言
由19世紀末至20世紀，物理科學和生物科學都有重要的發展。物理科學的重要發展包括對物質基本結構的瞭解、建立由微觀分子間的交互作用了解宏觀物質性質的理論及計算方法，即「統計物理」。生物科學的重要發展包括基因、蛋白質、DNA和RNA的發現以及了解它們之間的關係。最近數十年，物理科學所發展的觀念和方法大量用於研究蛋白質、DNA和RNA等生物巨分子的結構與演化。
1971至1976年，筆者在李怡嚴教授指導下在新竹市國立清華大學物理研究所研究基本粒子理論，畢業後至中正理工學院服預官役並開始與石育民、陳文典、曾玄哲等教授用重整群理論(renormalzation group theory)研究相變模型的臨界現象。服完役後，於1978年10月底至加州大學聖地牙哥校區加入馬上庚教授的研究群，以蒙地卡羅模擬法研究自旋玻璃與易行模型(Ising model)並以重整群法研究量子自旋模型。1979年夏天至1981年夏天在緬因州立大學用重整群法研究表面吸附原子之相變並開始研究展透(percolation)模型。1981年9月至1983年8月在多倫多大學研究展透模型和超冷水的模型。1983年9月至中央研究院物理所任職後研究的間題包括發展展透重整群算法、新的蒙地卡羅算法、相變模型之普適尺度函數、非線性動力學、同步現象等問題。1998年起開始用蒙地卡羅法研究蛋白質，2002年起開始用解析方法研究DNA和病毒演化模型。近年來，筆者以一半以上的時間投入生物物理的研究。本文簡單介紹筆者和合作者在蛋白質摺疊與病毒演化模型方面所做的一些研究成果。
二、以全原子模型研究蛋白質結構及熱性質
蛋白質(protein)是組成生物極重要的巨分子，由20種胺基酸(amino acid)靠化學鍵連接成一維的系列。胺基酸的主鏈(main chain)包括一個氮(N)原子和二個碳(C)原子，位於中間的碳原子(稱為之Cα原子)可接20種不同的側鏈(side chain)，不同的側鏈代表不同的胺基酸。胺基酸系列在生物體內產生後，會在很短的時間(1μs-1s)摺疊成立體結構。而蛋白質的生理功能和它的立體結構有極密切的關係，因此許多科學家想各種辦法決定蛋白質的立體結構。
用實驗方法決定蛋白質立體結構的工具主要有X射線和NMR，這些設備很昂貴，且取得實驗數據後，用數值分析決定蛋白質結構通常也要花很長時間。如果能夠純粹用電腦計算就算出蛋白質的立體結構，那將是很有意義的事，但這是不是可能呢?
根據1972年諾貝爾化學獎得主Christian Anfinsen[1]的研究，不是特別長的蛋白質，一維系列的資訊就能決定蛋白質的立體結構，而室溫時蛋白質的立體結構就是它在基態或接近基態時的結構，因此許多科學家也想各種辦法由蛋白質一維的資訊計算它的立體結構。常用的計算方法包括分子動力學(molecular dynamics, MD)模擬法和蒙地卡羅(Monte Carlo, MC)模擬法。用MD或MC計算蛋白質低溫(室溫)狀態常碰到的困難，就是蛋白質容易掉入暫穩狀態而不容易再跳出來找到更低的能量狀態。為了克服這個困難，Ulrich H. E.Hansmann和Y. Okamoto[2]首先將多重正則MC(multicanonical MC, MMC)法用於模擬由5個胺基酸組成的Met enkephalin而得到不錯的結果。MMC的特點就是讓分子在能量空間隨機行走，因此它就比較容易走到低能量的狀態。另一種容易找到低能量狀態的方法就是平行調整法(parallel tempering)[3]，即同時L部電腦模擬L種不同溫度蛋白質之動態行為，過一段時間，再以Boltzmann因子決定不同電腦上之蛋白質是否要交換溫度，然後再重複前述動作，此一方法的優點就是容易在平行電腦上運算。
蛋白質的立體結構和它與周圍水的作用有很密切的關係，處理蛋白質和水的作用也有各種辦法。用MD研究蛋白質的科學家，通常將大量的水分子(如3000個)和蛋白質放在一起用MD模擬它們間的互動情況，另一種方法就是將水當作是連續體，即將蛋白質放在水的連續體內，模擬蛋白質在水作用下的行為；這種方法所需的計算機時間比MD要少很多，但關鍵的問題就是要找出合適的蛋白質與水作用的模型。
以MD模擬蛋白質，極有名的例子就是加州大學舊金山校區Y. Duan和Peter A. Kollman[4]用Cray T3E(包含256個CPU)計算villin headpiece subdomain (包含36個胺基酸，簡稱HP-36)在3000個水分子中摺疊的情況，他們計算HP-36由無秩序狀態經過大約1μs後達到接近HP-36在室溫(由實驗決定)的立體結構，但兩者仍有明顯的差異。
1998年起，筆者與海耳倫(Shura Hayryan)、Frank Eisenmenger、Ulrich H. E. Hansmann等人合作發展以全原子模型 (all atom model) 計算蛋白質性質的套裝軟體SMMP(Simple Molecular Mechanics for Proteins)[5]。此套裝軟體用FORTRAN寫成，可用於模擬蛋白質標準幾何模型，此模型的蛋白質所有碳(C)、氮(N)、氧(O)和硫(S)原子都包含在內，但排除較小的氫(H)原子，靠化學鏈結合的鄰近原子，距離保持不變，但容許轉動以改變蛋白質的結構。蛋白質之內能則可選用ECEPP/2、ECEPP/3、和FLEX等模型。蛋白質與水交互作用的能量可由每一原子接觸水的面積及每種原子與水相互作用參數計算出來。此套裝軟體也包括模擬退火(simulated annealing)，MMC，平行調整(parallel tempering)等數值模擬法之計算程式。據筆者所知，SMMP於2001年夏天發表後已有德國Peter Grassberger，美國B. A. Berg和加拿大J. Z. Y. Chen等數值模擬著名教授用SMMP模擬蛋白質。
以SMMP為基礎，筆者與合作者發展出計算蛋白質能量之平行算則[6]，將MMC和平行計算結合後所算的Met enkephalin熱力學性質和別人用單一CPU電腦算的結果一致。在我們計算能量的平行算則，資料在CPU之間傳送的量很低，因此計算效率不至於隨CPU數快速下降。我們用中央研究院計算機中心包含48個CPU(每一node只有一個CPU)的PC Farm計算Protein L能量，測試一週，發現CPU數到30時，效率仍高達57%。
筆者與林財鈺和Hansmann合作用平行電腦研究HP-36的三維結構[7]。在這個研究裏我們完成了一個結合SMMP和平行調整法的MPI平行化程式。我們用中研院計算機中心的IBM平行電腦從隨機組態出發，以20個CPU模擬20個溫度下HP-36的平衡性質，透過平行調整法不斷地在各個CPU間交換溫度以求得能量的極小值。在一個典型CPU，蛋白質的溫度和能量隨溫度的變化如圖1所示，蛋白質的平均內能和比熱隨溫度的變化如圖2所示。計算圖2所用之數據時，我們考慮蛋白質與水交互作用的能量，因此圖2的比熱顯示相變的行為，另外，我們發現HD-36在低能量有兩種結構，其中一種結構和NMR定的結構頗為類似。
在2001年發表的SMMP，蛋白質的表面積是以數值方法計算的。筆者與海耳倫、吳明佳及斯洛伐克(Slovak)和俄國的學者合作，發展用解析公式計算蛋白質表面積和體積的方法並以此方法為建立計算蛋白質面積和體積的軟體ARVO[8，9]。
圖1.在一典型CPU，蛋白質的能量(上圖)和溫度(下圖)隨時間的變化。本圖取自Proteins 52, 436 (2003)。
圖2.HP36的平均內能E_tot和比熱C(插圖)隨溫度的變化。本圖取自Proteins 52, 436 (2003)。
最近筆者與吳明佳、馬文忠、Mai Suan Li和Maksim Kouza等人合作，用ARVO研究Protein Data Bank (PDB) 蛋白質的體積V和面積S。我們發現大部分蛋白質的體積和面積比很接近0.75Å，少數偏離此一比值的蛋白質則結構有問題，如只存部分碳原子(Cα)的資料或原子中心點過於接近[10]。
2006年筆者和Eisenmenger、Hansmann和海耳倫等人發表新版的SMMP[11]，此新版SMMP包括以解析公式計算蛋白質的體積和面積。
2001年王福高先生和David P. Landau發展快速計算相變模型狀態密度(Density of states)的蒙地卡羅方法，此方法廣泛用於許多問題的計算而被稱為王Landau法(Wang-Landau method)，此法的缺點是計算值不易收斂而有較大的誤差。王健生和R. H. Swendsen於2001年發展結合轉換矩陣與蒙地卡羅(transition matrix MC,簡稱TMMC)的方法，此法可算較準確的結果，但需要很長的計算時間。筆者與Ruben G. Ghulghazaryan和海耳倫發展有效結合王Landau及TMMC法以計算蛋白質的狀態函數[12]，有了狀態函數就可以計算蛋白質的內能、比熱及熵。
三、以Go模型研究蛋白質摺疊問題
以全原子模型模擬蛋白質的摺疊頗費計算機時間，因此用此方法目前我們只能研究胺基酸數目大約40的蛋白質。若要研究胺基酸數目較大的蛋白質，必須要用較簡單的模型，如Go模型。
Go模型[13]由日本人N. Go於1983年提出來，再經由聖地牙哥J. Onuchi的研究群(14)改良。使用Go模型，必須先知道蛋白質自然立體結構每一胺基酸Cα的座標，每一胺基酸也只保留Cα原子，其他原子則忽略不計。從蛋白任一組態Cα原子群的座標以及該蛋白質自然立體結構Cα原子群的座標，可以寫下蛋白質的能量，根據此能量函數寫下蛋白質Cα原子群座標必須滿足的Langevin方程式。該方程式包括一項強度與溫度有關的雜訊。用數值方法解Langevin方程式後，就可以得到Cα原子群座標隨時間的變化。我們用Go模型研究下列問題
(1) hbSBD的摺疊問題。
筆者與海耳倫、越南籍波蘭學者李梅樹(Mai Sun Li)、中央研究院黃太煌和張七鳳等人合作研究與粒線體內的人類支鍊甲酮酸脫氫酶BCKD (branched-chain α ketoacid dehydrogenase)複合體有關的胺基酸系列hbSBD。BCKD複合體由24條胺基酸系列E2組成，E2的第62至145個胺基酸形成hbLBD而165至213個胺基酸則形成hbSBD領域，24條E2的另一端則糾結在一起形成E2核心。hbSBD會接上Lipoic acid，而hbSBD則會接上E1(heterotetrameric decarboxylasc)和E3(homodimeric dehydrogenase)。BCKD負責分解支鏈甲酮酸(branchel-chain α keto acids)。若BCKD無法發揮正常功能，會發生致命的酮酸中毒。黃太煌 教授的研究群用NMR決定hbSBD的立體結構，並用CD(circular dichroism)測量平均殘餘橢圓率(mean residue molar ellipticity)隨入射偏極化光波長及樣品溫度變化的情形。
由Go模型計算結果與CD實驗數據比較，我們發現，hbSBD的反自然狀態(denatured state簡稱DS)需越過一個能障而到達摺疊狀態(folded state，簡稱FS)。我們也發現hbSBD比hbLBD不穩定。在溫度T，hbSBD在摺疊狀態的比例以fN(T)表示，由CD實驗數據及數值計算所得的dfN(T)/dT隨溫度變化如圖3的上圖所示，我們調整Go模型的參數以便讓數值計算的摺疊溫度與實驗值符合；圖3的下圖則顯示數值計算的比熱隨溫度的變化，此圖顯示Go模型可算出蛋白質的相變行為。
圖3. 上圖：dfN/dT隨溫度T的變化，實線是實驗值，點線是數值模擬的結果，fN是hbSBD在摺疊狀態(FS)的比例。下圖：數值計算hbSBD比熱隨溫度的變化。本圖取自Biophysical J. 89, 3353 (2005)。
兩個Cα原子的距離小於某一切斷參數(cutoff parameter)r0時，我們稱這兩個原子有自然接觸(native contact)。取r0=7.5Å，自然摺疊狀態hbSBD共有62個自然接觸。圖4顯示在溫度等於摺疊溫度(即圖3，Cv最高值的溫度)hbSBD自由能隨自然接觸總數Q的變化。該圖顯示DS狀態需越過一個能障而到達摺疊狀態FS。在能障的高峯，則有過渡狀態(transition state，簡稱TS )。圖4也顯示在DS，TS，和FS，hbSBD典型的結構。在TS，hbSBD已形成和FS類似的helix，但兩helix的相對位置與TS的結構不同；在DS、hbSBD則無helix結構。
圖4. 在摺疊溫度TF hbSBD的自由能隨自然接觸總數Q的變化。本圖取自Biophysical J. 89, 3353 (2005)。
（2）肌內蛋白I27及汎素之逆摺疊及再摺疊
肌肉的肌節（sarcomere）的Z-disk 與M-line靠titin連結，而titin則由一連串的免疫球蛋白（immunoglobulin）I27和一連串的fibronectin組成。一個典型的I27（如PDB碼1tit）包括98個胺基酸，數個I27可結合成複數蛋白作為實驗的樣品。
汎素（ubiquitin）與生物體內分解不需要的蛋白質有關。典型的汎素（如PDB碼 1f 9j）包含76個胺基酸，數個汎素可串連在一起而成為複數蛋白質。2004年諾貝爾化學獎頒給Aaron Ciechanover，Avran Hershko，及Irwin Rose三人以表揚他們對於了解汎素功能的貢獻。
Julio M. Fernandez 與合作者曾以原子力顯微鏡術（atomic force microscopy，簡稱AFM）將I27和汎素的複數蛋白質拉開，再研究I27和汎素重新摺疊（refolding）的過程[16,17]。他們用120pN（pico Newtwon）的力將包含三個汎素的複數蛋白質由摺疊狀態完全拉開後，再將拉力降至fq=15pN。汎素的兩端距離R（end to end distance）會很快下降約16nm，隨後R會有大的擾動再逐漸下降，經過大約8秒，R會忽然下降約10nm，以後R就只有小的擾動，此時汎素可說已回復到摺疊狀態。加於汎素的力降至15pN的時間至汎素回復到摺疊狀態的時間可稱為汎素在fq=15pN的摺疊時間（folding time）tF。Fernandez等人發現不同次實驗tF並不相同，而平均摺疊時間tF與fq指數成正比[17]。
筆者與李梅樹，Dmitri K. Klimov，和D. Thirumalai等人合作以Go模型研究單一I27的逆摺疊（unfolding）及再摺疊過程，我們也發現不同次數實驗，再摺疊過程與起始條件有關，而且平均再摺疊時間和fq的指數成正比。數值模擬再摺疊的典型結果如圖5所示，該圖顯示fq相同，再摺疊時間並不相同。
圖5.再摺疊過程中，I27兩端距離R，迴旋半徑Rg，和自然接觸總數Q隨時間的變化。在圖a與b，fq=0，但再摺疊時間不同；在圖c與d，fq=3pN，兩者的再摺疊時間也不同。本圖取自Proc. Natl. Acad. Sci. USA 103, 93 (2006).
筆者與李梅樹，Maksim Kouza用Go模型研究汎素的逆摺疊和再摺疊[19]，也發現和I27類似的結果。汎素的摺疊狀態包含5個b-sheet和1個a-helix，我們發現加力和加熱情況下，汎素的b-sheet與a-helix打開的次序並不相同[19]。
四、病毒演化之分子模型
(1)歷史背景
我們所見到或知道的動物、植物，與人類究竟從何而來？又將往何處去？自有人類文明以來，這是許多思想家嘗試回答的問題。基督教舊約聖經的創世紀以及莊子的至樂篇記載公元前思想家對於生物起源和演化所提出的理論。理論是否能夠廣為接受，必須經過觀察或實驗結果的檢驗。
18世紀和19世紀累積的證據則顯示地球上的生物是經由長時間的演化逐漸形成的。這類證據包括各種化石的系列型態，某些生物存在一些多餘的器官，某些低等至高等動物具有類似的架構，某些低等至高等動物類似的胚胎型態，動植物的育種顯示生物可能變異，某些大量繁殖的生物必須競爭有限的資源，而地理大發現找到許多新的化石及動植物使生物演化的觀點更具說服力。在這個背景下，英國科學家達爾文（Charles Darwin，1809-1882）在參加小獵犬號於1831年12月27日 至1836年10月2日 航行地球一週後，建立生物演化的理論，也在1859年11月24日 出版有關生物演化的名著<<物種原始（The Origin of Species）>>。
達爾文在<<物種原始>>中提出的「物競天擇，適者生存」生物演化理論可以說是一個宏觀的現象性理論。自從統計物理和分子生物學發展以後，科學家很自然地想到，是否可以從組成生物遺傳物質的DNA和RNA，應用統計物理來了解生物演化的機制。在此背景下，德國人Manfred Eigen和日本人Motoo Kimura等人乃提出生物演化之分子模型。
(2)Eigen和Kimura模型
高等生物的遺傳訊息儲存於細胞核內的DNA，DNA由A、T、C、G四種核苷酸（nucleotide）組成。DNA的訊息經RNA polymerase轉錄後形成訊息RNA，RNA係由A、U、C、G四種核苷酸組成。RNA的訊息經細胞核外的核醣體（Ribosome）轉譯（translation）後，會形成蛋白質。
病毒是包含遺傳物質最簡單的個體。病毒分為遺傳物質由DNA組成的DNA病毒及由RNA組成的RNA病毒。某些RNA病毒（如AIDS病毒）的RNA系列可經由反轉錄產生DNA系列，這些DNA系列再插入細胞內的DNA，藉由細胞的複製功能大量複製。
既然遺傳訊息是儲存於DNA或RNA，生物演化的分子模型就與DNA或RNA的演化有關。病毒具有最簡單的DNA或RNA系列，因此研究生物演化的分子模型可以從研究病毒的演化著手。
德國人Manfred Eigen是實驗化學家，他因為研究極快速化學反應與Ronald George Wregford Norrish和George Porter於1967年共同得到諾貝爾化學獎。Eigen的興趣並不侷限於化學實驗，他在1971年提出病毒演化的分子模型[20]。
在一般狀況下，核苷酸系列的變異包括(a)新核苷酸的加入（insersion），(b)某些核苷酸的消除（deletion），及(c)一種核苷酸變為另一種核苷酸（point mutation）。為簡單起見，Eigen忽略(a)和(b)，而只考慮(c)，即在演化過程中，核苷酸的總數N保持不變。另外，Eigen將所有嘌呤（purine，包括G和A）都以+1代表，而所有的嘧啶（pyrimidine，包括C，U，和T）都以-1代表，即將N個核苷酸系列轉換成一度空間包括N個自旋的易行模型。N個易行自旋共有M=2N種不同的組態，以S1, S2, …, SM表示，Si出現的機率以pi表示。在單位時間，Si產生下一代的平均數目以ri表示，ri稱為Si的適應函數，因為ri越大表示Si產生的下一代越多，因此也愈能適應。Si可能被藥物或免疫系統消滅或變為另一系列Sj，單位時間內，Si被消滅的數目以Di表示，而變為Sj的機率以Qji表示。Di又稱為降解速率（degradation rate）。
Eigen寫下pi滿足的方程式
此處Qij=qN-d(i,j)(1-q)d(i,j)，(1-q)代表由+1變為-1或-1變為+1的機率，而d(i,j)代表Si和Sj自旋不同的總數，稱為Hamming距離。Qij滿足 ，由此可證明 。r =N(1-q)則代表單位時間，N自旋變異的總數。
Eigen 假設只有一個自旋系列 [ 例如可取所有自旋為+1的S1=(1,1,…,1) ] 的適應函數特別大，即r1≡A>>1，而其他系列的ri為1。S1可以稱為尖端組態（peak configuration）。若起始狀態pi平均分佈且Dj=0，Eigen發現當
Ae-g > 1 (2)
隨時間演變，最適應系列S1的p1會變為最大；若公式(2)不滿足則無此種現象。此現象頗類似臨界現象而Ae-g=1可定出臨界點。Eigen稱此臨界點為誤差門檻( error threshold)。
1970年Motoo Kimura和合作者J. Crow提出另一種病毒演化模型[21]。和Eigen一樣，他們也假設病毒核苷酸長度N保持不變，且同樣以±1的易行自旋代表核苷酸系列。他們假設由Si系列變為Sj系列的變異矩陣mij只有當d(i,j)=1時才有變異發生。他們寫下pi滿足的方程式為：
比較方程式(1)和方程式(3)，我們可以發現在Eigen模型由Sj變異為Si的那一項包含rj，因此變異是在產生子代的過程中發生，所以Eigen模型可稱為選擇與變異連結的模型，而在Kimura模型，Sj變為Si的那一項並不包含rj，所以Kimura模型可稱為選擇與變異平行的模型。當環境改變時，滿足Eigen模型還是Kimura模型的病毒較容易適應新的環境，這是頗有趣的問題。
(3)Eigen和Kimura模型鬆弛現象的比較
1997年，E. Baake，M. Baake，和H. Wagner[22]等人將Kimura模型用等價的量子自旋模型表示。2004年筆者與亞美尼亞學者沙阿金（David B. Saakian）將Eigen模型也用量子自旋模型表示[23]。我們用處理量子自旋模型常用的Suzuki-Trotter方法研究Eigen模型與Kimura模型的鬆弛現象。假設在起始狀態，N個自旋的平均磁矩（將各自旋分量加起來除以N）為m，我們計算系統到達穩定狀態（即大部分病毒的狀態集中於尖端組態及其近鄰）所需的鬆弛時間t。我們發現不管單位時間變異數多小，Kimura模型可以用較短的時間到達穩定狀態，如圖6所示[24]。
圖6. Eigen模型和Kimura模型鬆弛時間t/(1-m)隨核苷酸變異數 r 的變化，m是對應的自旋模型在起始狀態的平均磁矩。本圖取自Phys. Rev. E 69, 046121 (2004).
(4)一般適應函數及降解速率之Eigen模型的準確解
Eigen[20]和Kimura[21]考慮適應函數在尖端組態S1有很大的值，在其他組態的適應函數都是相同的很小的值，此種適應函數過於簡略。最近筆者與沙阿金[25]研究一般適應性函數及降解速率的Eigen模型，並算出對應之配分函數的準確解。
我們考慮方程式(1)的適應函數ri和降解速率Di可以寫成
ri=f(Si)=f0(mi); D(Si)=d0(mi) (4)
此處mi是Si的平均磁矩。很容易證明mi=1-2d(i,1)/N，d(i,1)是Si與S1的Hamming 距離。因此ri和D(Si)只是Si和S1之Hamming距離的函數。我們可以證明方程式(1)和(4)所代表的系統有一個對應的量子自旋系統，其Hamiltonian以H表示，而分配函數為Z=Tr exp[-Hb]，b為溫度的倒數。當b很大時，Z的主要貢獻來自於某種平均磁矩k的組態，而lnZ/b則可以寫成
用方程式(5)可以分析各種不同適應函數f0(k)及降解速率病毒適宜存活的相圖[25]。
Rohde，Daum，和Biebricher發現某些RNA病毒會產生Hamming距離很大的變異病毒[26]，此結果無法用方程式(1)和(4)的Eigen模型解釋。我們也修正Eigen模型以解釋此種結果[25]。
(5)多重尖端組態病毒模型
方程式(4)的適應函數和降解速率有一個共同的尖端組態S1，也就是S1對應的病毒最容易複製下一代，也最容易被藥物或免疫系統攻擊而消滅。最近筆者與沙阿金，Rice大學的Michael W. Deem和E. Munoz研究多重尖端組態病毒模型[27]，即方程式(4)的f(Si)和D(Si)分別可以有多重尖端組態。最簡單的情況是f(Si)的尖端組態仍只有 ，而D(Si)則有另一個尖端組態 。我們可以定義 用於表示S1和S2的重疊程度。當m=1則S2=S1，當m=-1則S2=-S1。
我們首先考慮f(Si)在Si=S1有很大的適應值A，其他組態的適應值為1，而D(Si)則可寫成
圖7. 病毒被藥物攻擊之相圖。FM相表示病毒可以存活，NS相表示病毒被藥物消滅。m表示病毒複製之尖端組態S1和藥物攻擊之尖端組態S2重疊的情況。本圖取自Phys. Rev. E 73, 041913 (2006).
在FM（ferromagnetic）相，病毒可以存活；在NS（nonselective）相，病毒被藥物攻擊而消滅。當m=1，病毒必須有相當大的複製率A才能存活，當m降低，A也跟著降低。圖7的內插圖考慮病毒組態和S1的Hamming 距離小於某一值時有相同的適應值A，因此病毒可以用較低的A值存活（即FM相）。
四、結語
除了蛋白質摺疊與病毒演化模型，筆者也與A. E. Allahverdyan，Z. S. Gevorkian，和T . M. Nieuwenhuizen等人合作研究DNA在平面吸附的問題，並算出有關之相圖[28]。由前面所述的研究成果，可以看出統計物理所發展的觀念和方法有助於研究蛋白質摺疊和病毒的演化，以及DNA吸附等分子生物的問題。
五、致謝
筆者感謝海耳倫、林財鈺、吳明佳、沙阿金、李梅樹、黃太煌、張七鳳、E. Eisenmenger、U. H. E. Hansmann，及M. W. Deem等人合作研究蛋白質摺疊及病毒演化模型。本文所用的圖都取自與這些人合作完成的論文。筆者也感謝國科會及中央研究院的研究支助以及張純綾 小姐和吳明佳 博士協助完成本文。
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作者簡介
胡進錕
中央研究院物理所研究員
e-mail: huck@phys.sinica.edu.tw
http://www.sinica.edu.tw/~statphys/
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